СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНО-СЕТОЧНОГО МЕТОДА С ПОЛИНОМАМИ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА

Численные методы все более широко применяются для исследования математи-
ческих моделей гидродинамических систем. Одним из эффективным методом ре-
шения таких систем являются спектрально-сеточный метод, где в качестве базис-
ных функций использованы полиномы Чебышева первого рода. Наряду с полино-
мами Чебышева первого рода имеются полиномы Чебышева второго рода, обладаю-
щих почти такими же свойствами. Поэтому исследование сходимости спектрально-
сеточного метода с полиномами Чебышева второго рода представляет несомненный
интерес. В данной статье спектрально-сеточный метод с базисными функциями по-
линомов Чебышева второго рода применяется для исследования краевой задачи ли-
нейного обыкновенного дифференциального уравнения общего вида при линейных
однородных краевых условиях, так как исследования многих гидродинамических
потоков подпадают под этот класс уравнений. Сначала спектрально-сеточный ме-
тод строится в конструктивном виде, затем вводятся функциональное пространство
и соответствующие в этом пространстве операторы проектирования. После этого
доказываются теоремы о сходимости спектрально-сеточного метода и оценивается
скорость сходимости метода.

Numerical methods are increasingly used to study mathematical models of hydrody-
namic systems. One of the effective methods for solving such systems is the spectral-grid
method, where Chebyshev first kind polynomials are used as basis functions. Along with
the Chebyshev polynomials of the first kind, there are Chebyshev polynomials of the
second kind possessing almost the same properties. Therefore, the study of the con-
vergence of the spectral-grid method with Chebyshev polynomials of the second kind is
of undoubted interest. In this article, the spectral-grid method with basic functions of
Chebyshev polynomials of the second kind is used to study the boundary value problem
of a linear ordinary differential equation of a general form under linear homogeneous
boundary conditions, since studies of many hydrodynamic flows fall under this class of
equations. First, the spectral-grid method is constructed in a constructive form, then
functional spaces are introduced and the corresponding design operators are entered into
it. After this, theorems on the convergence of the spectral-grid method are proved and
the estimates of the rate of convergence of the method are established.