294

Хорошо известно, что ряды Фурье-Бесселя широко применяются при решении ряда задач математической
физики, механики, вычислительной математики. В данной работе решено несколько экстремальных задач о
наилучшем среднеквадратическом приближении функций f (х), суммируемых на отрезке [0,1], с весом x,
которые могут быть применены при решении ряда практических задач (см. например, [4]). В ходе решения
указанных экстремальных задач найдены точные верхние грани наилучших среднеквадратических
приближений частными суммами рядов Фурье-Бесселя по функциям Бесселя первого рода для некоторых
классов функций, характеризующихся обобщёнными модулями непрерывности высших порядков. Получены
точные неравенства типа Джексона-Стечкина на классах функций L(2r) (D), в которых величины наилучших
полиномиальных приближений оцениваются сверху как через модули непрерывности m -го порядка, так и
через К-функционалы r -х производных. Также на классах Wm(r) (K,Ф) и некоторых других классах функций
вычислены точные значения различных n -поперечников. В качестве приложения решена задача вычисления
точных верхних граней коэффицентов Фурье-Бесселя на указанных классах функций.
 

  • Read count 273
  • Date of publication 29-12-2015
  • Main LanguageRus
  • Pages39 - 47
Русский

Хорошо известно, что ряды Фурье-Бесселя широко применяются при решении ряда задач математической
физики, механики, вычислительной математики. В данной работе решено несколько экстремальных задач о
наилучшем среднеквадратическом приближении функций f (х), суммируемых на отрезке [0,1], с весом x,
которые могут быть применены при решении ряда практических задач (см. например, [4]). В ходе решения
указанных экстремальных задач найдены точные верхние грани наилучших среднеквадратических
приближений частными суммами рядов Фурье-Бесселя по функциям Бесселя первого рода для некоторых
классов функций, характеризующихся обобщёнными модулями непрерывности высших порядков. Получены
точные неравенства типа Джексона-Стечкина на классах функций L(2r) (D), в которых величины наилучших
полиномиальных приближений оцениваются сверху как через модули непрерывности m -го порядка, так и
через К-функционалы r -х производных. Также на классах Wm(r) (K,Ф) и некоторых других классах функций
вычислены точные значения различных n -поперечников. В качестве приложения решена задача вычисления
точных верхних граней коэффицентов Фурье-Бесселя на указанных классах функций.
 

English

It is well known that the ranks of Fourier-Bessel are widely used in solving a number of problems in mathematical
physics, mechanics, computational mathematics. In this paper a few extreme problems of best mean square
approximation of functions f (х), summable on [0,1], with a weight that can be applied for solving a number of
practical problems (see. eg, [4]) were solved. In the course of solving these problems the exact extreme upper bounds of
best mean square approximation with partial sums of ranks of Fourier-Bessel by Bessel functions of the first kind for
some class of functions characterized by generalized modules of continuity of higher orders were found. Exact
inequalities of Jackson-Stechkin type for class of functions L(2r) (D), in which the value of best polynomial
approximations are majorized through modules of continuity of m -th order and by K-functional of r -th derivatives
were obtained. Also for the classes and other class of functions, the exact values of the different n -widths
were calculated. As an application, the problem on calculation the exact upper bounds of Fourier-Bessel coefficients for
the considered classes of functions was solved.
 

Ўзбек

Bizga ma’lumki, Fure-Bessel qatori ko’pgina matematikaviy fizika, mexanika va hisoblash matematikasidagi
masalalarni yechishda keng ko’lamda qo’llaniladi. Bu ishda [0,1] kesmada x vazni bo’yincha integrallanuvchi f (х)
funksiyaning, o’rtakvadratik eng yaxshi yaqinlashishi bo’yicha, bir qancha ekstremal masalalari hal qilingan bo’lib, ular
ko’pchilik amaliy masalalarni yechishda qo’llaniladi (masalan, qarang [4]). Bu ekstremal masalalarni yechish
jarayonida, birinchi jinsli Bessel funksiyalari bo’yicha Fure-Bessel qatori xususiy yig’indisining o’rtakvadratik eng
yaxshi yaqinlashish yuqori chegarasining aniq qiymatlari, yuqori tartibli umumiylashtirgan uzliksizlik moduli orqali
xarakterlanuvchi ba’zi funksiya sinflari uchun aniqlangan. L(2r)(D) funksiya sinflari uchun Djekson-Stechkin tipidagi
aniq tengsizliklar hosil qilinib, ularda ko’phadlar orqali eng yaxshi yaqinlashish qiymatlari, m -tartibli uzliksizlik
modullari va r -tartibli hosilaning K -funksionallari yordamida yuqoridan baholangan. Shuningdek, Wm(r)(K,Ф) va
boshqa funksiya sinflari uchun yuqorida aniqlangan barcha n -ko’ndalangliklarning aniq qiiymatlari hisoblangan. Hal
qilingan masalalarning tatbiqi sifatida, yuqorida ko’rsatilgan funksiya sinflari uchun, Fure-Bessel koeffisentlarining
yuqori chegararining aniq qiiymatlari hisoblab berilgan.
 

№ Name of reference
1 Абилов В.А., Абилова Ф.В. Приближение функций суммами Фурье-Бесселя // Известия вузов. Математика. – 2001. – № 8. – C. 1-7.
2 Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье-Бесселя // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2015. – Т. 55, № 6. – C. 917-927.
3 Иванов В.И., Чертова Д.В., Лю Юнпин. Точное неравенство Джексона в пространстве L2 на отрезке [1,1] со степенным весом // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2008. – Т. 14, № 3. – C. 112-126.
4 Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976. –512 с.
5 Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Неравенства Джексона - Стечкина с обобщёнными модулями непрерывности и поперечники некоторых классов функций // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2015. – Т.21, № 4. – С. 292-308.
6 Pinkus A. n -Widths in Approximation Theory. – Berlin: Springer–Verlag, 1985. – 292 p.
7 Фёдоров В.М. Приближение алгебраическими многочленами с весом Чебышева – Эрмита // Известия вузов. Математика. – 1984. – № 6. – C. 55-63.
8 лексеев Д.В. Приближение полиномами с весом Чебышева – Эрмита на действительной оси // Вестник МГУ. Математика. Механика. – 1997. – № 6. – C. 68-71.
9 Шабозов М.Ш., Тухлиев К. K -функционалы и точные значения n -поперечников некоторых классов из L2  ( 1 x2 )1;[1,1]   // Известия Тульского госуниверситета. – Естест. науки. – 2014. – Вып. 1, ч.1. – С. 83-97.
10 Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во МГУ, 1976. – 325 с.
11 Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 // Analysis Mathematica. – 2012. – Т.38, № 2. – C. 154-165.
12 Шевчук А.И. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев: Наукова думка, 1992. – 255 с.
Waiting