274

С.Л. Соболев рассмотрел проблему построения оптимальных решетчатых формул над пространством,
2   
L m Rn , и нахождение оптимальных коэффициентов свёл к решению дискретной задачи типа Винера-Хопфа.
Также, исследуя дискретную задачу типа Винера-Хопфа, он доказал существование и единственность решения
этой задачи и создал алгоритм для нахождения оптимальных коэффициентов кубатурных формул. В
одномерном случае он свёл нахождение оптимальных коэффициентов квадратурных формул при Px 1 в
пространстве 2   
Lm R к решению системы из 2m 2 уравнений. В настоящей работе рассматривается задача
построения оптимальных квадратурных формул в пространстве Соболева W2m(R) . Приводится модификация
алгоритма Соболева для построения таких формул, и при m =1 получена новая оптимальная квадратурная
формула.

  • Read count259
  • Date of publication06-06-2016
  • Main LanguageRus
  • Pages94-102
Русский

С.Л. Соболев рассмотрел проблему построения оптимальных решетчатых формул над пространством,
2   
L m Rn , и нахождение оптимальных коэффициентов свёл к решению дискретной задачи типа Винера-Хопфа.
Также, исследуя дискретную задачу типа Винера-Хопфа, он доказал существование и единственность решения
этой задачи и создал алгоритм для нахождения оптимальных коэффициентов кубатурных формул. В
одномерном случае он свёл нахождение оптимальных коэффициентов квадратурных формул при Px 1 в
пространстве 2   
Lm R к решению системы из 2m 2 уравнений. В настоящей работе рассматривается задача
построения оптимальных квадратурных формул в пространстве Соболева W2m(R) . Приводится модификация
алгоритма Соболева для построения таких формул, и при m =1 получена новая оптимальная квадратурная
формула.

Ўзбек

S.L. Sobolev 2   
L m Rn fazoda panjarali optimal formulalarni qurish masalasini surib chiqdi va optimal koeffisientlarni
topishni Viner-Hopf tipidagi diskret masalani yechishga olib celdi. S.L. Sobolev Viner-Hopf tipidagi masalaning
yachimining mavjudligi va yagonaligini isbotladi va kubatur formulalar optimal koeffisientlarini topish algoritmini
berdi. Bir o’lchovli holda px 1 bo’lganda 2   
L m R fazoda kvadratur formulalarning optimal koeffisientlarini
topishni 2m 2 ta tenglamalar sistemasini yechishga olib keldi. Ushbu ishda esa Sobolevning W2m(R) fazosida optimal
kvadratur formula qurilgan. Sobolev algoritmi modifikatsiya qilingan holda m =1bo’lganda yangi kvadratur formula
olingan.

English

S.L. Sobolev considered the problem of constructing optimal lattice formulas over the space, 2   
L m Rn and finding
optimal coefficients brought to solving a discrete Wiener-Hopf problem. S.L. Sobolev, exploring the discrete problem
of Wiener-Hopf, proved the existence and uniqueness of the solution of this problem and gave an algorithm for finding
the optimal coefficients for quadrature formulas. In the one-dimensional case, he has brought finding optimal
coefficients for Px 1quadrature formulas in the space 2   
Lm R at the solution of a system of 2m 2equations. In
the present paper the problem of construction of optimal quadrature formulas in the space Sobolev W2m(R) is
considered. It is given the algorithm for construction of such type formulas and for m =1 a new optimal quadrature
formula is obtained.

№ Name of reference
1 Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. – М: Наука, 1974. – 808 с.
2 Соболев С.Л. Коэффициенты оптимальных квадратурных формул // Доклады АН СССР. – Москва, 1977. – Т. 235, № 1. – С. 34-37.
3 Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. – Новосибирск: Изд-во ИМ РАН, 1996. – 414 с.
4 Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем. – Уфа: Дизайн Полиграф Сервис, 2009. – 178 с.
5 Sard A. Best approximate integration formulas, best approximate formulas // American J. of Math. – 1949. – Vol. LXXI. – Pр. 80-91.
6 Meyers L.F., Sard A. Best approximate integration formulas // J.Math. and Phys. – 1950. – Vol. XXIX. – Pр. 118- 123.
7 Coman Gh. Formule de cuadrature de tip Sard // Univ. Babes-Bolyai.Ser.Math. – 1972. – Vol. 17. – № 2. – Pр. 77.
8 Coman Gh. Monosplines and optimal quadrature formulae in Lp // Rend. Math. – 1972. – Vol. 5. – № 3. – Pр. 567-577.
9 Schoenberg I.J., Silliman S.D. On semicardinal quadrature formulae // Math. Comp. – 1974. – Vol. 12. – Pр. 483- 497.
10 Загирова Ф.Я. О построении оптимальных формул с равноотстоящими n узлами: препринт / АН СССР. Сиб отд-ние.ИМ. – Новосибрск, 1982. – 25 с.
11 Малюков А.А., Орлов Н.Н. Построение коэффициентов наилучшей квадратурной формулы для класса с равноотстоящими узлами // Методы оптимизации и исследований операций. Прикладная математика. – Иркутск, 1976. – С. 174-177.
12 Жамалов З.Ж., Шадиметов Х.М. Оптимальная квадратурная формула с равноотстоящими узлами в L(22) (E1) // Пятое советско-чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики. – Новосибирск, 1978. – С. 87-89.
13 Жамалов З.Ж., Шадиметов Х.М. О вычислениии коэффициентов оптимальных квадратурных формул // Доклады АН УзССР. – Ташкент, 1980. – № 4. – С. 4-7.
14 Жамалов З.Ж., Шадиметов Х.М. Об оптимальных квадратурных формулах // Доклады АН УзССР. – Ташкент, 1980. – № 7. – С. 3-5.
15 Шадиметов Х.М. Оптимальные квадратурные формулы в L(2m) () и Lm2 (R1) // ДАН УзССР. – Ташкент, 1983. – № 3. – С. 5-8.
16 Василенко В.А. Сплайн функции: теория, алгоритмы, программы. – Новосибирск: Наука, 1983.
17 Рамазанов М.Д., Шадиметов Х.М. Весовые оптимальные кубатурные формулы в периодическом пространстве Соболева // Доклады РАН. – Москва, 1999. – Т. 358, № 4. – С. 453-455.
18 Шадиметов Х.М. Весовые оптимальные кубатурные формулы в периодическом пространстве Соболева // Сиб. журн. вычисл. математики РАН. Сиб. отделение. – Новосибирск, 1999. – Т.2, №2. – С. 185-196.
19 Шадиметов Х.М. Построение весовых решетчатых оптимальных квадратурных формул в пространстве Lm2 (0,N) // Сиб.журн.вычисл.математики. – Новосибирск, 2002. – Т. 5, № 3. – С. 275-293.
20 Шадиметов Х.М., Хаётов А.Р. Вычисление коэффициентов оптимальных квадратурных формул в пространстве // Узбекский математический журнал. – Ташкент, 2004. – № 3. – С. 80-98 .
21 Catinas T., Coman Gh. Optimal quadrature formulas based on the  – function method // Studia Univ. "Babes - Bolyai", Mathematica. – 2005. – Vol. LII. – No.6. – Pp. 1-16.
22 Blaga P., Coman Gh. Some problems on optimal quadrature // Studia Univ. "Babes -Bolyai", Methematica. – 2007. – Vol.LII. – № 4. – Pp. 21-44.
23 Kohler P. On the Weights of Sard's Quadrature Formulas. –1988.
24 Lanzara F. On Optimal Quadrature Formulae // J. of Inequality & Appl. – 2000. – Vol. 5. – Pp. 201-225.
25 Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. Optimal quadrature formulas with positive coefficients in L(2m) (0,1) // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2011. – № 235. – Pp. 1114-1128.
26 Hayotov A.R., Milovanovic G.V., Shadimetov Kh.M. On an optimal quadrature formula in the sense of Sard // Numerical Algorithms. – 2010.
27 Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // УМН. – 1965. – Вып. I. – С. 3-74.
28 Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах. – Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005. – С. 146-57.
29 Шойнжуров Ц.Б. Линейные функционалы в пространстве С.Л.Соболева Wpm . – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ СО РАН, 2009. – С. 214-224.
30 Корытов И.В. Экстремальная функция элементарного периодического функционала погрешности в пространстве Соболева // Кубатурные формулы и их приложения. – Улан-Удэ, 1997. – С. 25-47.
31 Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. – М.: Наука, 1941.
Waiting