На основе совместного использования метода прямых и неявной схемы аппрок-
симации предложен экономичный численный метод для решения двухмерного урав-
нения параболического типа. Дифференциальные уравнения, полученные при ап-
проксимации по координате с граничными условиями первого рода, представлены
в матричной форме. С привлечением собственных чисел и векторов трехдиагональ-
ной матрицы перехода составлены автономные уравнения относительно линейных
комбинаций исходных сеточных искомых функций, где в качестве коэффициентов
выступают элементы собственных векторов матрицы перехода. Для произвольных
родов граничных условий по другой координате сформулирована задача относи-
тельно комбинации сеточных функций, которая решена с привлечением четырех-
точечной неявной схемы аппроксимации и метода прогонки. В работе в отличие от
многочисленных конечно-разностных методов (расщепления, переменных направле-
ний, предиктор-корректор и др.) в предлагаемом методе установлено согласие ис-
комых из соседних слоев (сечений). Т.е. при аппроксимации по обеим координатам
участвуют сеточные функции одного и того же временного сечения, для которых
получается точное решение. В связи с этим, применение данного метода при реше-
нии эллиптического уравнения с аналогичными граничными условиями позволяет
исключить введение фиктивного времени, так как конечно-разностные уравнения
решаются точно в рамках машинных округлений. Предложенный метод апробиро-
ван для различных краевых условий и правой части параболического уравнения и
получены убедительные результаты, в частности при решении задач на установле-
ния.
На основе совместного использования метода прямых и неявной схемы аппрок-
симации предложен экономичный численный метод для решения двухмерного урав-
нения параболического типа. Дифференциальные уравнения, полученные при ап-
проксимации по координате с граничными условиями первого рода, представлены
в матричной форме. С привлечением собственных чисел и векторов трехдиагональ-
ной матрицы перехода составлены автономные уравнения относительно линейных
комбинаций исходных сеточных искомых функций, где в качестве коэффициентов
выступают элементы собственных векторов матрицы перехода. Для произвольных
родов граничных условий по другой координате сформулирована задача относи-
тельно комбинации сеточных функций, которая решена с привлечением четырех-
точечной неявной схемы аппроксимации и метода прогонки. В работе в отличие от
многочисленных конечно-разностных методов (расщепления, переменных направле-
ний, предиктор-корректор и др.) в предлагаемом методе установлено согласие ис-
комых из соседних слоев (сечений). Т.е. при аппроксимации по обеим координатам
участвуют сеточные функции одного и того же временного сечения, для которых
получается точное решение. В связи с этим, применение данного метода при реше-
нии эллиптического уравнения с аналогичными граничными условиями позволяет
исключить введение фиктивного времени, так как конечно-разностные уравнения
решаются точно в рамках машинных округлений. Предложенный метод апробиро-
ван для различных краевых условий и правой части параболического уравнения и
получены убедительные результаты, в частности при решении задач на установле-
ния.
The paper proposes an approximate analytical method for solving two-dimensional
inhomogeneous equations of parabolic type, when boundary conditions of the first kind
are specified on one of the coordinates, and a combination of arbitrary kinds of boundary
conditions is specified on the other coordinate. Differential-difference equations obtained
after discretization by the first coordinate are presented in matrix form. Using eigenval-
ues and vectors of a three-diagonal transition matrix to a discrete representation, linear
combinations of the sought-for functions are compiled, which are autonomous equations.
Application of an implicit second-order scheme to them leads to finite-difference equa-
tions that allow the use of a sweep process. In general, the straight line method was
used for the first coordinate, and the usual sweep was used for the other coordinate. An
advantage of the proposed method for solving a parabolic equation with respect to other
methods is that for a fixed time, the same values of the grid functions or their linear com-
binations are used for approximation in both coordinates. Moreover, the discrepancies
caused by the inconsistency of the grid functions used in the finite difference equations
from neighboring layers, which accumulate over time, are eliminated. As an example,
the proposed method was tested for the establishment problems when the boundary
conditions represent sinusoidal and discontinuous functions.
Keywords: heat transfer equation, point heat source,finite differences, eigenvalues
| № | Name of reference |
|---|---|
| 1 | Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1977. – 456 с. |