YUQORI JUFT TARTIBLI XUSUSIY HOSILALI DIFFERENSIAL TENGLAMA UCHUN TO‘G‘RI TO‘RTBURCHAKDA BOSHLANG‘ICH-CHEGARAVIY MASALA

Ushbu maqolada to‘g‘ri to‘rtburchakda Bessel operatori qatnashgan yuqori juft tartibli xususiy hosilali differensial tenglama uchun boshlang‘ich-chegaraviy masala o‘rganilgan. Qo‘yilgan masalaga o‘zgaruvchilarni ajratish usulini qo‘llab, yuqori juft tartibli oddiy differensial tenglama uchun spektral masala olingan. Oxirgi masala o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligi isbotlanib, uning xos funksiyalari sistemasi mavjudligi, shuningdek, ushbu sistema ortonormalligi va to‘laligini ko’rsatilgan.
O‘rganilayotgan masalaning yechimi spektral masalaning xos funksiyalari sistemasi bo‘yicha Fury’e qatori ko‘rinishida qidirilgan. Bu qatorning va undan hadlab differensiallash yo‘li bilan olingan qatorlarning tekis yaqinlashuvchiligini ta’minlovchi shartlar topilgan. Masalani yechishning yagonaligi energiya integrali usuli bilan isbotlangan. Masala yechimi uchun uning berilgan funksiyalarga uzluksiz bog‘liq ekanligi kelib chiqaruvchi bahosi olingan.

В данной статье, для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольнике, сформулирована начально-граничная задача. Применяя метод разделения переменных к поставленной задаче, получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы её собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Решение изучаемой задачи найдено в виде суммы ряда Фурье, по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом  энергии интегралов доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

In this article, for a partial differential equation of high even order with a Bessel operator in a rectangle, an initial boundary value problem has been  formulated. Applying the method of separation of variables to the considered problem, a spectral problem was obtained for an ordinary differential equation of high even order. A self-adjointness of the last problem was proved, which implies the existence of the system of its eigen-functions, as well as the orthonormality and completeness of this system. The solution of the considered problem study was found as the sum of a Fourier series with respect to the system of eigen-functions of the spectral problem. The uniform convergence of this series, as well as the series obtained from it by term-by-term differentiation, have been proved. The uniqueness of the solution of the problem has been proved by the method of energy of integrals. An estimate for solution of the problem was obtained, from which follows its continuous dependence on the given functions.