МЕТОД ПРЯМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Предлагается способ применения метода прямых, который подробно разработан для
задачи Дирихле, для остальных комбинаций граничных условий. Идея способа заключается в том,
что, считая заданными граничные значения искомой функции, согласно им, получаются значения
искомой функции во внутренних узлах. Устанавливаются связи между граничными и
приграничными значениями функции согласно аппроксимации граничных условий. Из этих связей
находят значения искомой на границах, и применяется метод прямых. При этом граничные
условия аппроксимированы первым порядком точности, хотя их точность можно повысить.
Обосновывается, что результат работы полезен также при решении многомерных уравнений
математической физики с постоянными коэффициентами. Способ открывает путь к решению
задач методом прямых, когда на частях одной границы (отрезка, прямоугольника) наложены
условия разного рода. Для реализации второго, третьего и четвертого родов граничных условий
используется не интегро-интерполяционный метод, а обычная конечно-разностная
аппроксимация.

 

Дирихле масаласи учун батафсил ишлаб чиқилган тўғри чизиқлар усулини чегаравий
шартларнинг бошқа комбинациялари учун қўллаш усули таклиф этилган. Усулнинг ғояси
изланаётган функциянинг чегарадаги қиймати берилган деб ҳисоблаб, ички нуқталар учун унинг
қийматини топишдан ва топилганлар асосида чегара ва чегара атрофидаги тугунлардаги
қийматлар орасидаги муносабатни чегара шартга асосан шакллантиришдан иборат. Ташкил
этилган боғланишлардан функциянинг чегаравий қиймати аниқланган ва тўғри чизиқлар усули
қўлланилган. Бунда чегаравий шартлар биринчи тартибли аниқлик билан аппроксимацияланган ва
бу аниқликни яна орттириш имкони мавжуд. Ишнинг натижалари математик физиканинг бир ва
кўп ўлчовли тенгламаларини ечиш учун фойдали. Усул чегаранинг (кесма, тўғри тўртбурчакнинг)
алоҳида қисмларида турлича турдаги чегаравий шарт қўйилган ҳолларда тўғри чизиқлар усулини
қўллашнинг йўлини очиб беради. Иккинчи, учинчи ва тўртинчи чегаравий шартлар учун интегроинтерполяцион усул эмас, балки оддий чекли айирмалар усулидан фойдаланилган.

 

A method is proposed for applying the method of lines, which has been developed in detail for
Dirichlet problems, for the remaining combinations of boundary conditions. The idea of the method is
that, assuming that the boundary values of the desired function are given, according to them, the values of
the unknown function at the internal points are obtained. Relations are established between the boundary
and near boundary values of the function according to the approximation of the boundary conditions.
From these relations we find the values of desired function at the boundaries, and apply the method of
lines. In this case, the boundary conditions are approximated by the first order of accuracy, although their
accuracy can be increased. The result of the work is also useful in solving multidimentional equations of
the methematical physics with constant coefficients. The method opens the way to solving problems by
the method of lines, when conditions of different kinds are imposed on parts of the boundary (segment,
rectangle). To realize the second, third and fourth kinds of boundary conditions, we use not integrointerpolation method, but usual finite-difference approximation.