АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ И ВЕКТОРАХ МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА ИЗ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ К КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

В статье рассмотрены основные этапы решения одномерного параболического уравнения
методом прямых, известным также как дифференциально-разностный метод. Произведен по
координате х переход к дискретным функциям. Показаны пути поиска собственных значений и
векторов трехдиагональной матрицы, с помощью которых осуществляется переход к автономным
дифференциальным уравнениям относительно новой сеточной функции. Обосновано, что
полученные обыкновенные дифференциальные уравнения можно решить численно или
аналитически. Приведены формулы прямого перехода от исходной сеточной функции к новой и
обратного перехода. Показано, что результаты можно использовать при решении многомерных
уравнений параболического типа, а также одно- и многомерных уравнений эллиптического и
гиперболического типов.
 

Мақолада бир ўлчовли параболик тенгламани тўғри чизиқлар (дифференциал-айирмалар)
усулида ечишнинг асосий босқичлари намойиш этилган. Тўр функцияга ўтиш х координатасига
нисбатан амалга оширилган. Уч диагоналли матрицанинг янги тўр функцияга нисбатан автоном
оддий дифференциал тенгламаларга ўтиш имконини берадиган хос сонлар ва векторларни тошиш
усули келтирилган. Ҳосил бўлган оддий дифференциал тенгламалар сонли ёки аналитик усулда
ечилиши мумкин. Дастлабки тўр функциядан янгисига ва қайта ўтиш учун формулалар олинган.
Натижалар кўп ўлчовли параболик тенгаламаларни, шунингдек, бир ва кўп ўлчовли эллиптик ва
гиперболик тенгламаларни ечишда фойдаланилиши мумкин.
 

The paper demonstrates the main steps of the solution of a one-dimensional parabolic equation
by the method of lines. The transition was carried out to discrete functions with respect to the coordinate
x. The ways of searching for eigen-values and eigen-vectors of the tridiagonal matrix with the help of
which the transition to autonomous differential equations with respect to the new grid function are shown.
The obtained ordinary differential equations can be solved numerically or analytically. The formulas for
the transition of a direct transition from the initial grid function to a new and reverse transition are given.
Substantiated that the results can be used to solve multidimensional equations of parabolic type, as well as one- and multidimensional equations of elliptic and hyperbolic types.