564

Ushbu maqolada teskari spektral masalalar usuli manbali yuklangan Korteveg-de Friz tenglamasini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida integrallashga qo‘llanilgan. Koeffisiyenti manbali yuklangan Korteveg-de Friz tenglamasining yechimidan iborat bo‘lgan Xill operatorining spectral berilganlarining evolyutsiyasi keltirib chiqarilgan. Shu bilan bir qatorda cheksiz noma’lumli cheksizta Dubrovin differensial tenglamalar sistemasiga qo‘yilgan Koshi masalasining yechimga egaligi isbotlangan. Bundan tashqari Dubrovin differensial tenglamalar sistemasining yechimi va birinchi izlar formulasi yordamida tuzilgan tekis yaqinlashuvchi funksional qatorning yig’indisi manbali yuklangan Korteveg-de Friz tenglamasini qaoatlantirishi ko‘rsatilgan.

  • Internet havola
  • DOIhttps://doi.org/10.56292/SJFSU/vol28_iss2/a44
  • UzSCI tizimida yaratilgan sana 06-07-2022
  • O'qishlar soni 534
  • Nashr sanasi 30-06-2022
  • Asosiy tilO'zbek
  • Sahifalar232-247
Ўзбек

Ushbu maqolada teskari spektral masalalar usuli manbali yuklangan Korteveg-de Friz tenglamasini davriy cheksiz zonali funksiyalar sinfida integrallashga qo‘llanilgan. Koeffisiyenti manbali yuklangan Korteveg-de Friz tenglamasining yechimidan iborat bo‘lgan Xill operatorining spectral berilganlarining evolyutsiyasi keltirib chiqarilgan. Shu bilan bir qatorda cheksiz noma’lumli cheksizta Dubrovin differensial tenglamalar sistemasiga qo‘yilgan Koshi masalasining yechimga egaligi isbotlangan. Bundan tashqari Dubrovin differensial tenglamalar sistemasining yechimi va birinchi izlar formulasi yordamida tuzilgan tekis yaqinlashuvchi funksional qatorning yig’indisi manbali yuklangan Korteveg-de Friz tenglamasini qaoatlantirishi ko‘rsatilgan.

Русский

В данной работе метод обратной спектральной задачи применяется для интегрирования нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) с источником в классе периодических бесконечнозонных функций. Вводится эволюция спектральных данных оператора Хилла, коэффициент которого является решением нагруженного уравнения КдФ с источником. Доказано разрешимость задачи Коши для бесконечной системы дифференциальных уравнений Дубровина. Показано, что сумма равномерно сходящегося функционального ряда, построенного с помощью решения системы уравнений Дубровина и формулы первого следа, действительно удовлетворяет нагруженному уравнению КдФ с источником.

English

In this paper, the inverse spectral problem method is used to integrate the loaded Korteweg-de Vries (KdV) equation with a source in the class of periodic infinite-gap functions. We introduce the evolution of the spectral data of the Hill operator whose coefficient is a solution of the loaded KdV equation with a source. The solvability of the Cauchy problem for an infinite system of Dubrovin's differential equations is proved. It is shown that the sum of a uniformly convergent functional series constructed by solving the system of Dubrovin's equations and the first trace formula indeed satisfies the loaded KdV equation with a source.

№ Muallifning F.I.Sh. Lavozimi Tashkilot nomi
1 Hasanov T.G. 1 Urganch State University
№ Havola nomi
1 1. Gardner C., Green I., Kruskal M., Miura R. A method for solving the Korteveg-de Vries equation. // Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, p.1095-1098.
2 2. Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредингера.// Тр. МИ АН СССР, 73(1964), с. 314-336.
3 3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев «Наукова думка», 1977.
4 4. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.
5 5. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.// Comm. Pure and Appl. Math., 1968. v.21. p.467-490.
6 6. Me’lnikov V.K. Integration method of the Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source. Physics Letters A, 133, 9, 493-496 (1988).
7 7. Mel’nikov V.K. Integration of the Korteweg-de Vries equation with source. Inverse problems 6, 2, 233-246 (1990).
8 8. Claude C., Leon J. Latifi A. Nonlinear resonant scattering and plasma instability: an integrable model. J. Math. Phys, 32,3321-3330 (1991).
9 9. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М.: «Мир». 1983.
10 10. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. Москва «Мир». 1983. 11. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П., Теория солитонов:
11 11. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П., Теория солитонов: метод обратной задачи, М.: Наука, 1980.
12 12. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: «Мир». 1987.
13 13. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов, М., Наука,
14 14. Додд Р., Эйилбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: «Мир». 1988.
15 15. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. М.: Ижевс. 2008.
16 16. Zeng Y., Ma W.X., Lin R. Integration of the solution hierarchy with self-consistent source. J.Math.Phys., 41:8(2000), 5453-5489.
17 17. Hasanov A.B., Hoitmetov U.A. On integration of the loaded Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing functions. Proceeding of the institute of Math. And Mechan. National academy of sciences of Azerbaijan, vol., 7, № 2, 2021, p. 250-261.
18 18. Итс. А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза.//ТМФ,23:1(1975), с.51-68.
19 19. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза.//ЖЭТФ,67:12(1974), 2131-2143.
20 20. Митропольский Ю.А., Боголюбов Н.Н. (мл.), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г., Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты, Киев, Наукова думка, 1987.
21 21. Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. //Функц. анализ и его прил. – Москва, 1975. т. 9. вып. 3. с. 41-51.
22 22. Matveev V.B. 30 years of finite-gap integration theory. //Phil. Trans. R Soc. A (2008), 366, p. 837-875.
23 23. Ince E.L. Ordinary differential equations. (New York: Dover. 1956)
24 24. Нахушеев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.
25 25. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи. Ж. Вычисл. матем. и матем. Физ. 44, 694-716 (2004).
26 26. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.I-II. –М.: «ИЛ», 1961.
27 27. Станкевич И.В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла. ДАН СССР, 192 (1), 34- 37 (1970).
28 28. Ахиезер Н.И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов. ДАН СССР, 141(2), 262-266(1961).
29 29. Trubowtz E. The inverse problem for periodic potentials. Comm. Pure. Appl. Math., -New York, 30, 321-337. (1977).
30 30. Hochstadt H. On the determination of Hill’s equation from its spectrum. Arch. Rat. Mech. Anal. -Springer, 19, 353-362 (1965).
31 31. Mckean H.P., Moerbeke P. The spectrum of Hill’s equation. Invent. Math., 30(3), 217-274(1975).
32 32. Flachka H. On the inverse problem for Hill’s operator. Arch. Rational Mech. Anal., 59 (4), 293-309 (1975).
33 33. Hochstadt H. Estimates on the stability interval’s for the Hill’s equation. Proc. AMS, 14, 930-932 (1963).
34 34. Левитан Б.М., Гусейнов Г.Ш. Вычисление главного члена асимптотики длины лакуны периодической задачи Штурма-Лиувилля. Сердика Българско математическо списание. т 3, № 4. С. 273-280 (1977). www.math.bas.bg/serdica/1977/1977-273-280.pdf.
35 35. Hochstadt H. A Generalization of Borg’s inverse theorem for Hill’s equations. J. Math. Anal. and Appl. – Elsevier, 102, 599-605 (1984).
36 36. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufgable. Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwete Acta Math.-Berlin, 78, 1-96 (1946).
37 37. Хасанов А.Б., Хасанов Т.Г. Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза в классе периодических бесконечнозонных функций.// Записки научных семинаров ПОМИ, т. 506, 2021, с. 258-279.
Kutilmoqda